20. 一个关于对合复合的有趣定理

孩子不懂事, 画着玩发现的.

作者的射影几何水平非常有限。

对于一条圆锥曲线 $Γ$ , 任给一条直线 $l$ , 其上有奇数个对合中心 $Q_{1}, \dots, Q_{2 n - 1}$ (顺序任意), 则这些对合复合的结果仍为对合, 且复合出的对合的对合中心仍在 $l$ 上.

如果你不知道什么是对合, 这里是简单解释:
我们考虑一个变换操作, 它将 $Γ$ 上一点 $P$ 映为 $Γ$ 上另一点 $P^{'}$ , 使得 $P P^{'}$ 过 $Q$ (特别地, 若 $P Q$ 与 $Γ$ 相切, 则 $P^{'} = P$ ), 我们称这个变换为对合, $Q$ 为对合中心.

我们称一开始的点为 $P_{0}$ , 依次操作, 经过对合中心 $Q_{i}$ 后变为点 $P_{i}$ .

当 $n = 1$ 时结论平凡.

若 $n \geq 3$ , 我们连接 $P_{1}, P_{2 n - 2}$ , 对 $P_{1}$ 至 $P_{2 n - 2}$ 使用 $(n - 1)$ 时的结论, 再对 $P_{0}, P_{1}, P_{2 n - 2}, P_{2 n - 1}$ 应用 $n = 2$ 的结论即可.

这样, 我们只需考虑 $n = 2$ 的情况, 更大的 $n$ 由数学归纳即得.

当 $l$ 与 $Γ$ 有两个交点时:

如图, 我们称 $P_{0}, P_{3}$ 交点为 $Q_{4}$ , $l$ 交 $Γ$ 于 $X, Y$ .

导交比得

[X, Q_{3}; Q_{2}, Y] = [X, P_{3}; P_{1}, Y] = [X, Q_{4}; Q_{1}, Y]

于是 $Q_{4}$ 为定点.

如果展开交比，可以得到

\frac{X Q_{1}}{Q_{1} Q_{4}} \frac{Q_{4} Y}{Y Q_{3}} \frac{Q_{3} Q_{2}}{Q_{2} X} = - 1

这是 Candy 定理的推广.

但是当 $l$ 与 $Γ$ 相切甚至相离时以上方法不可行 (或许能用复射影平面那一套, 但是我不会)

另一个思路是使用神秘参数方程爆算, 实操可行, 不过这种做法疑似有点城市化了.

几何题还是要用几何的方法做. 考虑到对合的判定是 $A \Rightarrow B \Rightarrow A$ , 我们考虑对 $P_{3}$ 进行操作:

如图, Pascal + 同一法易知 $P_{0} P_{2}^{'} Q_{3}$ 共线, 则 $P_{0} \Rightarrow P_{3} \Rightarrow P_{0}$ , 知变换为对合.

然后还要证对合中心在 $l$ , 上, 这需要再作一组对应点, 为方便取 $P_{1}$ :

Pascal + 同一法易知 $Y P_{1} Q_{4}$ 共线, 于是 $P_{0} P_{3}$ 与 $P_{1} Y$ 的交点 $Q_{4}$ 即为对合中心, 它在 $l$ 上.

综上定理得证.